Title: Vektoren und Analytische Geometrie
Course: WINT-Check Mathematik

Linearkombination

Berechnen Sie die folgenden Linearkombinationen für die folgenden Vektoren:

\(\vec{a}=\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)\quad\vec{b}=\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right)\quad\vec{c}=\left(\begin{array}{c}9\\3\end{array}\right)\)

Ergänzen Sie die freien Felder.

\(2 \cdot \vec{a} - 3 \cdot \vec{b} - \vec{c}= \) | [Image] |  | [Image]

Skalarprodukt berechnen

Berechnen Sie das Skalarprodukt der folgenden Vektoren.

\(\vec{a} = \left(\begin{array}{c} -8 \\ 5 \end{array} \right)\) | \(\vec{b} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)\)

Ergänzen Sie das freie Feld.

\(\vec{a} \cdot \vec{b}=\) |

Normalenvektor

Ergänzen Sie die Einträge von \(\vec{n}\) so, dass \(\vec{n}\) ein Normalenvektor der Ebene \(E\) ist.

Ergänzen Sie die freien Felder.

\(E: \vec{x}= \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 5 \\ 0 \end{array} \right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right) ; \lambda , \mu \in \mathbb{R} \).

\(\vec{n}=\) | [Image] |  | [Image]
\(1\)

Winkel zwischen zwei Geraden

Die beiden Geraden \(g_{1}\) und \(g_{2}\) schneiden sich in einem Punkt, \(\varphi\) beschreibt den Winkel zwischen den Geraden.

\(g_{1} : \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}\) | mit \(\vec{a}, \vec{u} \in \mathbb{R}^{2}, \lambda \in \mathbb{R}\).
\(g_{2} : \vec{x} = \vec{b} + \mu \cdot \vec{v}\) | mit \(\vec{b}, \vec{v} \in \mathbb{R}^{2}, \mu \in \mathbb{R}\).

Wählen Sie die allgemein gültige Formel zur Berechnung von \(cos(\varphi)\) aus.

Beachten Sie: "\(\cdot\)" bedeutet je nach Kontext Multiplikation oder Skalarprodukt.

\(cos(\varphi)=\)

Ortsvektoren ablesen

Auf dem dargestellten Würfel liegt der Punkt \(A\) genau in der Mitte der zugehörigen Kante.

[Image: Aufgabengrafik]

Geben Sie den Ortsvektor von \(A\) an.

Ergänzen Sie die freien Felder.

\(\vec{OA}=\) | [Image] |  | [Image]

Verbindungsvektor und Länge eines Vektors

Gegeben sind die Punkte \(A(1|1)\) und \(B(2|3)\) in der \(x\)-\(y\)-Ebene.

Bestimmen Sie den Verbindungsvektor von \(A\) zu \(B\) und berechnen Sie anschließend seine Länge.

Ergänzen Sie die freien Felder.

Beachten Sie: Wurzel x wird als sqrt(x) eingegeben.

\(\vec{AB}=\) | [Image] |  | [Image]
\(|\vec{AB}|=\) |  |  |

Festlegung einer Ebene

Entscheiden Sie, durch welche der folgenden Situationen eine Ebene im Raum eindeutig festgelegt wird.

Wählen Sie eine oder mehrere richtige Antworten.

Lagebeziehung Gerade und Ebene

Wie können eine Gerade und eine Ebene im \(\mathbb{R}^{3}\) zueinander liegen?

Wählen Sie eine oder mehrere richtige Antworten.

Orthogonalität

Gegeben sind zwei Vektoren \(\vec{u},\vec{v} \in \mathbb{R}^2\), die jeweils ungleich dem Nullvektor sind. \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) liegen orthogonal zueinander. Welche der folgenden Gleichungen gilt dann?

Wählen Sie die richtige Antwort.

Linear abhängig

Gegeben sei der Vektor \(\vec{u}\):

\(\vec{u} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array} \right)\)

Welche der folgenden Vektoren sind linear abhängig von \(\vec{u}\)?

Wählen Sie eine oder mehrere richtige Antworten.

Lageprobleme

Gegeben sind zwei Geraden \(g_{1}\) und \(g_{2}\) im Raum mit:

\(g_{1} : \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}\) | mit \(\vec{a}, \vec{u} \in \mathbb{R}^{3}, \lambda \in \mathbb{R}\).
\(g_{2} : \vec{x} = \vec{b} + \mu \cdot \vec{v}\) | mit \(\vec{b}, \vec{v} \in \mathbb{R}^{3}, \mu \in \mathbb{R}\).

Beantworten Sie die beiden nachfolgenden Fragen.

Wählen Sie jeweils eine oder mehrere richtige Antworten.

\(a)\)
Entscheiden Sie, welche der Aussagen in jedem Fall wahr ist.

\(g_{1}\) und \(g_{2}\) sind parallel oder identisch, wenn...

\(b)\)
Wie können \(g_{1}\) und \(g_{2}\) zueinander liegen, wenn das durch Gleichsetzen entstehende Gleichungssystem keine Lösung besitzt?

Skalarprodukt interpretieren

Betrachtet werden drei Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) ungleich dem Nullvektor, bei denen folgende Skalarprodukte bekannt sind:

\(\vec{a} \cdot \vec{b}=5\)         \(\vec{b} \cdot \vec{c}=0\)

Interpretieren Sie die Lösungen, indem Sie die richtigen Antworten markieren.

Wählen Sie eine oder mehrere richtige Antworten.

Vektor und Skalar

Die folgenden Ausdrücke beschreiben einen Vektor, eine Zahl (Skalar) oder sind nicht definiert. Dabei gilt \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \mathbb{R}^{n},r,s \in \mathbb{R}\).

Beachten Sie: "\(\cdot\)" bedeutet je nach Kontext Multiplikation oder Skalarprodukt.

Wählen Sie jeweils die richtige Antwort.

\(a)\)
 | \(\vec{a} \cdot \vec{b} + s\) |  |
\(b)\)
 | \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}\) |  |
\(c)\)
 | \(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c}\) |  |
\(d)\)
 | \(\displaystyle\frac{\vec{a}}{\vec{b}}\) |  |
\(e)\)
 | \(s \cdot (r \cdot \vec{b})\) |  |