Title: Differentialrechnung
Course: WINT-Check Mathematik

Ableitung von Polynomfunktionen

Gegeben sei die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{4} \cdot x^2+2 \cdot x+4\). Bestimmen Sie die 1. Ableitung von \(f\).

Ergänzen Sie das freie Feld.

Schreibweise:
Nutzen Sie folgende Zeichen: + (Addition), - (Subtraktion), * (Multiplikation), / (Division), ^ (Potenz). Dezimalzahlen sind mit einem Dezimalpunkt einzugeben.

\(f'(x)=\) |

Ableitungsregeln

Seien \(u\) und \(v\) differenzierbare Funktionen. Welcher Term gehört jeweils zur Ableitung der Funktion \(f\)?

Wählen Sie jeweils die richtige Antwort.

\(a)\)
\(f(x)=u(x) \cdot v(x)\)

\(b)\)
\(f(x)=u(v(x))\)

Bedeutung der 1. und 2. Ableitung

Gegeben sei eine ganzrationale Funktion \(f\) dritten Grades, für die alle folgenden Aussagen gelten:

- \(f''(x)<0\) für \(x<1\) und \(f''(x)>0\) für \(x>1\).
- \(f(0)=10\).

Welcher der nachfolgenden Graphen gehört zu \(f\)?

Wählen Sie die richtige Antwort.

[Image: Grafik zur Antwortmöglichkeit 1] [Image: Grafik zur Antwortmöglichkeit 2] [Image: Grafik zur Antwortmöglichkeit 3]

Ableitungsfunktion

Wählen Sie für die folgenden Funktionsgraphen jeweils den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion.

\(a)\)

[Image: Graph der ersten Funktion.]

[Image: Grafik zur Antwortmöglichkeit 1] [Image: Grafik zur Antwortmöglichkeit 2] [Image: Grafik zur Antwortmöglichkeit 3] [Image: Grafik zur Antwortmöglichkeit 4] [Image: Grafik zur Antwortmöglichkeit 5]

\(b)\)

[Image: Graph der zweiten Funktion.]

[Image: Grafik zur Antwortmöglichkeit 1] [Image: Grafik zur Antwortmöglichkeit 2] [Image: Grafik zur Antwortmöglichkeit 3] [Image: Grafik zur Antwortmöglichkeit 4] [Image: Grafik zur Antwortmöglichkeit 5]

Tangentengleichung

Gegeben sei die Funktion \(f\) mit \( f(x)=3 \cdot x^2 + 2 \). Bestimmen Sie Steigung und Achsenabschnitt der Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(\left(1|5\right)\).

Ergänzen Sie die freien Felder.

 | Steigung der Tangente: |  |
 | \(y\)-Achsenabschnitt der Tangente: |  |

Differenzenquotient

Welcher der folgenden Terme ist der Differenzenquotient zur Funktion \(f\) im Intervall \([x_{0},x_{0}+h]\)?

Wählen Sie die richtige Antwort.

Durchschnittliche Steigungen

Gegeben ist eine Funktion \(f\) mit folgendem Graphen:

[Image]

Innerhalb welchen Intervalls ist die durchschnittliche Steigung von \(f\) am größten?

Wählen Sie die richtige Antwort.

Aussagen zur Ableitung

Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

Wählen Sie eine oder mehrere richtige Antworten.

Kurvendiskussion (Extrem- und Wendepunkt)

Im Folgenden sind die Graphen der ersten Ableitung \(f'\) und zweiten Ableitung \(f''\) einer Funktion \(f\) abgebildet. Was lässt sich daraus über den Graphen \(G_{f}\) von \(f\) aussagen?

\(f':\) | [Image: Graph der ersten Ableitung]
\(f'':\) | [Image: Graph der zweiten Ableitung]

Wählen Sie eine oder mehrere Antworten.

Tangentensteigung

In welchem der Punkte \(A\), \(B\), \(C\) oder \(D\) hat die Steigung des Graphen den niedrigsten Wert?

[Image]

Wählen Sie die richtige Antwort.

Extrempunkte von Funktionsgraphen

Für die Tatsache, dass \(x_{0}\) Extremstelle der Funktion \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) ist, ist...

Wählen Sie jeweils die richtige Antwort.

\(a)\)
 | \(f''(x_0)<0\) |
\(b)\)
 | \(f'(x_0)=0\) und \( f''(x_0) \neq0 \) |