Title: Integralrechnung
Course: WINT-Check Mathematik

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Gegeben sei eine differenzierbare Funktion \(f\) mit der Stammfunktion \(F\). Welche der untenstehenden Terme stimmen mit dem Term überein?

\(\displaystyle\int{f'(x)}dx=\)

Wählen Sie eine oder mehrere richtige Antworten.

Stammfunktionen bekannter Funktionen

Geben Sie jeweils eine Stammfunktion \(F_{i}\) von \(f_{i}\) an.

Ergänzen Sie die freien Felder.

Beachten Sie: Eingabe besonderer Funktionen: sin() (Sinus), cos() (Kosinus), ln() (Logarithmus).

Schreibweise:
Nutzen Sie folgende Zeichen: + (Addition), - (Subtraktion), * (Multiplikation), / (Division), ^ (Potenz).

 | \(f_{1}(x)=x^{2}\) | \(F_{1}(x)=\) |  |
 | \(f_{2}(x)=cos(x)\) | \(F_{2}(x)=\) |  |
 | \(f_{3}(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\) | \(F_{3}(x)=\) |  |

Graphen und Stammfunktionen

Die folgenden beiden Abbildungen zeigen die Graphen zweier Ableitungsfunktionen.

Wählen Sie für jeden Funktionsgraphen eine mögliche Stammfunktion aus.

\(a)\)

[Image: Bild zum ersten Graphen.]

\(b)\)

[Image: Bild zum zweiten Graphen.]

Flächeninhalte

Berechnen Sie den Inhalt der markierten Fläche. Geben Sie Ihr Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

Beachten Sie: Nutzen Sie für Brüche das Zeichen / (Division).

[Image: Aufgabengrafik.]

Ergänzen Sie das freie Feld.

Der Flächeninhalt beträgt:  Flächeneinheiten

Gesamtbestand und Integrale

Betrachten Sie die Abbildung. Was wird durch den Inhalt der markierten Fläche beschrieben?

[Image]

Wählen Sie die richtige Antwort.

Orientierte Flächeninhalte und Intervalladditivität

Bestimmen Sie den Wert der Integrale mithilfe der in der Abbildung angegebenen Flächeninhalte \(A\), \(B\), \(C\).

[Image: Aufgabengrafik.]

Ergänzen Sie die freien Felder.

 | \(\displaystyle\int_{b}^{d}{f(x)}dx=\) |  |
 | \(\displaystyle\int_{c}^{b}{f(x)}dx=\) |  |

Integration eines Monoms

Welche der folgenden Terme vervollständigt die rechte Seite korrekt?

\(\displaystyle\int{x^{n}} \ = \ ...\)      für \(n \neq -1\)

Wählen Sie die richtige Antwort.

Stammfunktion

Gegeben ist eine Funktion \(f\) mit Stammfunktion \(F\). Welche der folgenden Terme gehören ebenfalls zu Stammfunktionen von \(f\)?

Wählen Sie eine oder mehrere richtige Antworten.

Flächeninhalt mit variabler Grenze

Bestimmen Sie das folgende Integral in Abhängigkeit des Parameters \(a\).

Ergänzen Sie das freie Feld.

Schreibweise:
Nutzen Sie folgende Zeichen: + (Addition), - (Subtraktion), * (Multiplikation), / (Division), ^ (Potenz).

\(\displaystyle\int\limits_{1}^{a}{x^{-2}}dx=\)

Integrationsgrenzen

Wie ist die Grenze \(a\) zu wählen, damit die Gleichung erfüllt ist?

Wählen Sie die richtige Antwort.

\(\displaystyle\int\limits_{a}^{3}{x^{2}}dx=18\)      \(a=\) |